Fréquence des notes de musique, en hertz

Par Daniel Breyer, physicien et une moitié d’Acado, Berlin. Il a étudié la physique quantique théorique, publié dans Physical Review A, et fait de la musique de club avec Acado depuis vingt ans.

Lire le tableau des fréquences

Chaque ligne est une note : son nom français, avec à côté le nom anglais (A4) ou, pour une touche noire, son autre nom en bémol ; sa fréquence en hertz, au centième ; son numéro MIDI ; sa longueur d'onde dans l'air. Les notes sont rangées par octave, de do à si. Le bouton 432 Hz recalcule tout pour un la3 à 432 Hz, et le champ en cents décale toutes les notes du même écart, de −99 à +99. Une note touchée sonne un peu plus d'une seconde ; « Copier les Hz » copie sa fréquence avec deux décimales, « Boucle WAV » la garde en sinusoïde de quatre secondes. Pour une version PDF, imprime la page depuis le menu du navigateur : le tableau est du texte dans la page, pas une image.

L'oreille perçoit à peu près de 20 Hz à 20 000 Hz, et la limite haute baisse avec l'âge. Le do-1, à 16,35 Hz, est sous la limite basse : à volume normal, on ne l'entend presque pas. Le haut-parleur d'un téléphone rend mal ce qui est sous 100 Hz environ ; le son de la page est donc la fondamentale avec deux harmoniques discrètes, plus fortes sous 130 Hz, et l'oreille reconstruit la note. Au casque, les graves sont plus nets.

Calculer la fréquence d'une note : la formule

Dans la gamme tempérée, chaque demi-ton multiplie la fréquence par la racine douzième de deux, 2^1/12 ≈ 1,05946 ; douze demi-tons font ×2, l'octave. Une note située à n demi-tons du la3 vaut f = 440 × 2^n/12, n étant négatif vers le grave. Le do4 est trois demi-tons au-dessus du la3 : 440 × 2^3/12 = 523,25 Hz. Avec le numéro MIDI m : f = 440 × 2^{(m − 69)/12}. Dans l'autre sens, de la fréquence à la note : m = 69 + 12 × log₂(f / 440). Pour 300 Hz, m = 62,37 : un ré3 (293,66 Hz) trop haut de 37 cents, le cent étant le centième d'un demi-ton tempéré. L'écart entre deux fréquences, en cents : 1 200 × log₂(f₂ / f₁). La longueur d'onde est la vitesse du son divisée par la fréquence : 343 m/s ÷ 440 Hz = 78 cm pour le la3, dans l'air à 20 °C.

Les 12 notes de musique, dans l'ordre

De demi-ton en demi-ton : do, do♯ ou ré♭, ré, ré♯ ou mi♭, mi, fa, fa♯ ou sol♭, sol, sol♯ ou la♭, la, la♯ ou si♭, si, puis le do suivant, une octave plus haut. Les 7 notes de musique naturelles, do ré mi fa sol la si, sont les touches blanches du piano ; les 5 notes altérées, les noires. Le dièse (♯) monte une note d'un demi-ton, le bémol (♭) la descend d'un demi-ton : la même touche noire a donc deux noms. Les douze notes jouées à la suite forment la gamme chromatique ; les sept notes naturelles, de do à do, la gamme de do majeur, une gamme diatonique. Voici leurs fréquences dans l'octave du diapason, celle qu'on chante et qu'on joue le plus :

Pour une autre octave, double (vers l'aigu) ou divise par deux (vers le grave) : le do4 fait 523,25 Hz, le do2 130,81 Hz. Entre mi et fa et entre si et do, il n'y a qu'un demi-ton, donc pas de touche noire ; partout ailleurs, deux notes naturelles voisines sont à un ton. Do♯ et ré♭ sont la même touche et la même fréquence dans la gamme tempérée seulement ; dans les tempéraments anciens, ce sont deux hauteurs distinctes : en mésotonique, le do♯ est environ 41 cents plus bas que le ré♭. Même chose sur les touches blanches : mi♯ sonne comme fa, si♯ comme do, fa♭ comme mi et do♭ comme si.

La3 ou la4, do3 ou C4 : la numérotation des octaves

En France, les octaves vont de do à si et le la du diapason est le la3 ; le do central du piano est le do3, à 261,63 Hz. Les tableaux anglais, les accordeurs et les logiciels de partition (MuseScore, Sibelius) suivent la notation scientifique, une unité plus haut : la3 = A4, do3 = C4. Les logiciels de production varient : le do central y est C3 ou C5 (voir plus bas). Beaucoup de pages en français mélangent les deux, des noms français avec des numéros anglais (« La4 = 440 Hz ») : d'où des listes où le do4 vaut 261,63 Hz chez l'un et 523,25 Hz chez l'autre, voire un si4 à 493,88 Hz à côté d'un la4 à 880 Hz. Ici, le nom français suit la règle française et le nom anglais est écrit à côté. Un piano de 88 touches va du la-1 (27,50 Hz) au do7 (4 186,01 Hz). Certains manuels (Abromont et de Montalembert, Guide de la théorie de la musique, 2001) sautent l'octave 0 : sous l'octave 1 vient l'octave -1, et la note la plus grave du piano s'écrit alors la-2. Le tableau suit l'autre usage, avec une octave 0 ; le nom anglais à côté lève le doute.

Un vrai piano s'accorde en octaves légèrement étirées, à cause de la raideur des cordes : ses aigus sont plus hauts que le tableau (de l'ordre de +20 à +30 cents au do7) et ses graves un peu plus bas. Au-dessus du tableau, l'octave 8 va du do8 (8 372,02 Hz) au si8 (15 804,27 Hz) ; le la8 fait 14 080 Hz.

D'où viennent les noms do, ré, mi

Vers 1030, le moine Guido d'Arezzo fait apprendre les notes avec l'hymne à saint Jean-Baptiste, dont chaque demi-vers commence une note plus haut : Ut queant laxis, Resonare fibris, Mira gestorum, Famuli tuorum, Solve polluti, Labii reatum. Le si vient plus tard des initiales de Sancte Iohannes, et l'ut devient do en Italie au XVIIe siècle, plus facile à chanter ; on dit encore « clé d'ut ». Chaque syllabe vient d'un mot de l'hymne : ut (afin que), re de resonare (résonner), mi de mira (les merveilles), fa de famuli (les serviteurs), sol de solve (délie), la de labii (de la lèvre), si de Sancte Iohannes (saint Jean). Le sens de l'hymne : « Pour que tes serviteurs puissent chanter à pleine voix les merveilles de tes actions, ôte le péché de leurs lèvres souillées, saint Jean. » Au-delà, une note n'a pas d'autre signification. Les pays anglophones gardent les lettres : A = la, B = si, C = do, D = ré, E = mi, F = fa, G = sol ; en allemand, si se dit H et si♭ se dit B.

Les sept clés (sol 2e ligne, fa 3e et 4e lignes, ut 1re, 2e, 3e et 4e lignes) ne changent aucune fréquence : elles disent quelle note se lit sur quelle ligne de la portée. Une note écrite porte deux informations : sa hauteur, par sa place sur la portée, et sa durée, par sa figure (ronde, blanche, noire, croche).

Note, hauteur et fréquence

La fréquence est une mesure physique : le la3 fait 440 allers-retours par seconde, un toutes les 2,27 millisecondes. La hauteur est ce que l'oreille en perçoit, grave ou aigu, et elle suit le rapport des fréquences, pas leur différence : de 110 à 220 Hz comme de 440 à 880 Hz, on entend le même saut, une octave. Une corde deux fois plus courte, à la même tension, vibre deux fois plus vite : une octave au-dessus. La note est le nom donné à une hauteur, le même dans toutes les octaves, parce que deux sons dans un rapport de 2 se ressemblent au point de se confondre : 55, 110, 220, 440, 880 et 1 760 Hz sont tous des la.

Un instrument ne joue jamais une seule fréquence. Une corde qui vibre à 440 Hz vibre aussi à 880, 1 320, 1 760, 2 200 Hz : les harmoniques, aux multiples entiers de la fondamentale. Leur dosage fait le timbre, ce qui sépare un la de flûte d'un la de violon à la même fréquence. Les premières harmoniques donnent l'octave (×2), la quinte une octave plus haut (×3 : 1 320 Hz, presque le mi5 à 1 318,51 Hz) et la tierce majeure deux octaves plus haut (×5 : 2 200 Hz, quand le do♯6 tempéré est à 2 217,46 Hz). L'oreille entend la fondamentale même quand elle manque, d'après l'écart entre les harmoniques : c'est ainsi qu'un petit haut-parleur laisse deviner une basse.

Pourquoi douze notes, et la gamme tempérée

Les intervalles qui sonnent juste ont des rapports simples : 2/1 l'octave, 3/2 la quinte, 5/4 la tierce majeure. Douze quintes empilées, (3/2)¹² ≈ 129,75, tombent presque sur sept octaves, 2⁷ = 128 : c'est pour cela que l'octave a douze notes. Sept quintes à la suite, fa do sol ré la mi si, donnent les sept notes naturelles : rangées dans l'octave, elles laissent cinq tons et deux demi-tons (mi–fa, si–do). Les cinq quintes suivantes, fa♯ do♯ sol♯ ré♯ la♯, remplissent les cinq tons : ce sont les touches noires. Presque seulement : il reste 1,36 %, le comma pythagoricien (23,5 cents), et aucun accord ne rend toutes les quintes et toutes les octaves pures à la fois. La gamme tempérée divise l'octave en douze demi-tons égaux : chacune des douze quintes cède un douzième du comma, environ 2 cents. Zhu Zaiyu la calcule exactement en Chine en 1584, Simon Stevin en Europe vers 1605 ; elle se généralise aux XVIIIe et XIXe siècles. La quinte tempérée est trop courte de 2 cents, ce qu'on entend à peine : un battement lent sur un accord tenu ; la tierce majeure trop large de 14 cents, ce qui s'entend sur un accord tenu. En échange, toutes les tonalités sonnent pareil. La gamme de do majeur, juste et tempérée :

Deux sons presque à la même fréquence battent : le volume ondule autant de fois par seconde que leur écart en hertz. Un la à 440 Hz et un autre à 442 Hz font 2 battements par seconde, et l'on accorde à l'oreille en les faisant disparaître. Sur la quinte tempérée la2–mi3, la 3e harmonique du la2 (660 Hz) et la 2e du mi3 (659,26 Hz) battent 0,74 fois par seconde : le tempérament s'entend, lentement.

Le diapason : 440 Hz, 442, 435, 415 et 432

Le la de référence a beaucoup varié. En France, un arrêté de 1859 fixe le « diapason normal » à 435 Hz. Une conférence internationale réunie à Londres adopte 440 Hz en 1939, la norme ISO 16 le reprend en 1955 et le confirme en 1975 ; c'est le la des accordeurs, des claviers et de presque toute la musique enregistrée. Beaucoup d'orchestres européens accordent un peu plus haut, à 442 ou 443 Hz (+8 et +12 cents). Les ensembles baroques jouent souvent à 415 Hz, un demi-ton sous 440 : c'est une convention d'aujourd'hui, car au XVIIIe siècle le la changeait de plusieurs demi-tons d'une ville ou d'un orgue à l'autre.

Quelle note correspond à 432 Hz ? Avec un la3 à 440, 432 Hz est un la3 trop bas de 31,8 cents, un tiers de demi-ton, au-dessus du sol♯3 (415,30 Hz). Accorder à la3 = 432 Hz descend toutes les notes de 1,8 % : le do3 passe à 256,87 Hz, et les intervalles ne changent pas. Les pages qui conseillent d'écouter la musique en 432 hertz promettent du calme ou une « harmonie naturelle » ; les études sont rares et petites, et un essai de 2025 (43 patients, 432 contre 443 Hz, BMC Complementary Medicine and Therapies) ne trouve pas de différence significative. C'est un choix d'accord, pas un effet démontré. Le bouton 432 Hz du tableau et l'accordeur 432 Hz servent à ceux qui le font ; pour comparer les deux à l'oreille, le générateur de fréquence.

Les 9 fréquences sacrées, note par note

174, 285, 396, 417, 528, 639, 741, 852 et 963 Hz : ces « fréquences solfège » ont été popularisées par un livre ésotérique de 1999 (Leonard Horowitz et Joseph Puleo), qui en donnait six, de 396 à 852 Hz ; 174, 285 et 963 Hz ont été ajoutées ensuite. Ce n'est pas un système d'accord. Elles ne forment pas une gamme : leurs écarts ne suivent aucun rapport musical, et leur place par rapport aux notes tempérées est quelconque. 741 Hz tombe à 2 cents d'un fa♯4, 174 et 417 Hz à moins de 8 cents d'une note, les six autres entre 15 et 48 cents à côté. À la3 = 432 Hz, aucune n'est à moins de 12 cents d'une note.

Fréquence des notes en hertz : guitare, basse, violon, alto, violoncelle, ukulélé

À la3 = 440 Hz, en numérotation française, de la corde la plus grave à la plus aiguë (sauf le sol aigu du ukulélé, rentrant) :

Les instruments à vent montent en chauffant : la vitesse du son dans l'air croît avec la température, ce qui fait monter un tuyau d'environ 3 cents par degré. Les cordes, au contraire, ont tendance à baisser dans une salle qui chauffe. Pour accorder, les accordeurs : guitare, basse, violon, alto, violoncelle, ukulélé ; chacun joue la note d'une corde quand on la touche.

Pour les producteurs

La colonne MIDI donne le numéro qu'envoie ta DAW : 69 pour le la3, 60 pour le do central, qu'Ableton, Logic et Cubase affichent C3 et FL Studio C5. Si un sample tombe entre deux notes, trouve son écart avec le détecteur de hauteur, mets les cents dans le champ du haut, et tout le tableau suit : la note sur laquelle accorder une 808, la fréquence à taper dans un filtre ou un EQ. La boucle WAV est une sinusoïde à la fréquence de la ligne, quatre secondes, un nombre entier de cycles pour boucler sans clic, à glisser sous le morceau comme référence ; pour une autre onde ou un balayage, le générateur de fréquence.

Puis fais-en quelque chose

La dernière note touchée entre dans Brumm comme mélodie, dans un morceau club avec un beat et une basse. Sans compte, sans envoi : la note voyage dans le lien lui-même. Fredonnes-y une ligne entière, et elle devient un instrument. L'app est en anglais.

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